Question

Cho 3 số a,b,c khác 0 và thỏa mãn \(a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-2\) và a³ + b³ + c³ = 1. CMR

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Answer 1

Lời giải:

ĐK số 1 của đề tương đương với

\(a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+b\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=-2+3=1\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1(*)\)

\(\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)=abc\)

Lại có:

$a^3+b^3+c^3=1$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)=1$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3-3[(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc]=1$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3-3.0=1$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3=1\Rightarrow a+b+c=1(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ (đpcm)