\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
<=> \(2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
<=>\(\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
<=>\(\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
do (a-b)2>=0, (a-1)2>=0,(b-1)2>=0=>BĐT được c/m
dấu ''=''m xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
\(a^2+b^2+1=\frac{1}{2}\left[\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)\right]\ge ab+a+b\)
mình nhầm một chút ở chỗ \(\left(a^2+2ab+b^2\right)thành\left(a^2-2ab+b^2\right)nhé\)
áp dụng bđt cosi ta có:
\(a^2+b^2>=2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)
\(a^2+1>=2\sqrt{a^2}=2a\)
\(b^2+1>=2\sqrt{b^2}=2b\)
\(\Rightarrow2a^2+b^2+2>=2ab+2a+2b\Rightarrow a^2+b^2+1>=ab+a+b\)
dấu = xảy ra khi a=b=1
