Question

Cho a,b là các số dương thỏa mãn \(a+b=1\)CHỨNG MINH RẰNG:

\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)

 

Answer 1

. Đặt a+1/a=x , b+1/b=y. 

. Ta có: A = (a+1/a)^2 + (b+1/b)^2 = x^2 + y^2 >=1/2(x+y)^2 ( Cái này rất dễ chứng minh, bạn dùng định nghĩa để cm nha)(1)

. Ta lại có: x + y = a + b + 1/a + 1/b , vì a + b =1 nên : x + y = 1 + 1/a + 1/b 
. Lại có: 1/a + 1/b = a+b/ab, do a,b>0 nên 1/ab nhỏ nhất khi ab lớn nhất <=> a = b = 1/2 ( Vì a+ b =1)

. Suy ra 1/ab >= 4 => a+b/ab >= 4 (a+b =1) =>  x + y >= 5 (2)

. Từ (1) và (2) suy ra A>= 25/5
. Dấu "=" xảy ra khi a = b =1/2
. Kết luận
. Chỗ nào khó hiểu bạn hỏi lại mình nha =))

.

Answer 2

. Chỗ kia là 25/2 nha bạn, mình ghi nhầm ^^

Answer 3

. Cái chỗ lại có í bạn
. Mình sửa lại xiếu: Lại có 1/a + 1/b >= 4/a+b ( Dễ cm)

. Mà a + b =1 nên 1/a + 1/b >=4
. =)

Answer 4

cám ơn nha

Answer 5

Vì sao x^2+y^2>=1/2(x+y)^2