Question

cho a,b là các số dương thỏa mãn a³+b³=b⁵+a⁵

CM a²+b² \(\le\) 1+ab

Answer 1

\(a^2+b^2\le1+ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab-1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-\left(a+b\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\le a+b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)^2\le\left(a+b\right)\left(a^5+b^5\right)\) (Do \(a^3+b^3=a^5+b^5\) )

\(\Leftrightarrow a^6+2a^3b^3+b^6\le a^6+ab^5+a^5b+b^6\)

\(\Leftrightarrow2a^3b^3\le ab^5+a^5b\)

\(\Leftrightarrow a^5b+ab^5+2a^3b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^4+b^4+2a^2b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b>0\))

Vậy \(a^2+b^2\le1+ab\)