Question

Cho a,b là các số dương thỏa mãn \(a^3+b^3=a^5+b^5\)

Chứng minh rằng : \(a^2+b^2\le1+ab\)

Answer 1

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có 
a^5 + a >= 2√(a^5.a); 
hay a^5 >= 2a^3 - a. 
Chứng minh tương tự, ta cũng có 
b^5 >= 2b^3 - b. 
Cộng hai bất đẳng thức theo vế ta được 
a^5 + b^5 >= 2a^3 + 2b^3 - a - b, 
hay a^3 + b^3 >= 2a^3 + 2b^3 - a - b, 
hay a^3 + b^3 <= a + b (*). 
Vì a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) nên bất đẳng thức (*) tương đương với 
(a + b)(a^2 - ab + b^2) <= a + b, 
hay a^2 - ab + b^2 <= 1, 
hay a^2 + b^2 <= ab + 1. 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1