Question

cho a,b là các số dương khác nhau thỏa

a-b=\(\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\) CMR a²+b²=1

Answer 1

Từ giả thiết ta suy ra \(a+\sqrt{1-a^2}=b+\sqrt{1-b^2}\to\left(a+\sqrt{1-a^2}\right)^2=\left(b+\sqrt{1-b^2}\right)^2\)

\(\to a^2+2a\sqrt{1-a^2}+\left(1-a^2\right)=b^2+2b\sqrt{1-b^2}+\left(1-b^2\right)\)

\(\to a\sqrt{1-a^2}=b\sqrt{1-b^2}\to a^2\left(1-a^2\right)=b^2\left(1-b^2\right)\to a^2-a^4=b^2-b^4\)

\(\to\left(a^4-b^4\right)=a^2-b^2\to\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-1\right)=0.\)

Vì a,b dương khác nhau nên \(a^2-b^2\ne0\to a^2+b^2=1.\)  (ĐPCM)