\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}}\)
Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{m+n}\)được \(\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
CM: \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Áp dụng bđt Côsi:
\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\)
Tương tự \(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{b}\)
Cộng theo vế và thu gọn, ta được đpcm.
