Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
\(\left(4a^2+9b^2\right)\left(2^2+2^2\right)\ge\left(2a.1-3b.2\right)^2=\left(4a-6b\right)^2=1\)
\(\Rightarrow4a^2+9b^2\ge\dfrac{1}{8}\).
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\dfrac{1}{8};b=\dfrac{-1}{12}\).
Cho a, b, c> 0 và abc =1. Chứng minh: \(\frac{a^4b}{a^2+1}+\frac{b^4c}{b^2+1}+\frac{c^4a}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
1.Cho \(a,b,c,d\) là các số nguyên thỏa mãn \(a^3+b^3=2\left(c^3-d^3\right)\) . Chứng minh rằng a+b+c+d chia hết cho 3
2.Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
Cho hai số a,b thỏa mãn: 2a+b=2. Chứng minh: \(ab\le\dfrac{1}{2}\)
Cho a,b thỏa mãn :10a^2+5b^2+12ab+4a-6b+13=0
. Tính giá trị biểu M=(2a+b)^2020
a) Cho a,b,c >0
Chứng minh: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)
b) Cho a,b \(\ge\)1 , chứng minh:
\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{ab+1}\)
Chứng minh: 4a2 + b2 - 4a + 2b + \(\dfrac{5}{2}\)>0
Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức:
1, S = a2+b2+c2
2, P = 4a2+6b2+3c2
cho 2 số a,b là các số nguyên dương. chứng minh nếu tích(18a+13b)(4a+6b)chia hết cho 35 thì tích đó có ít nhất 1 ước là số chính phương\
cho a,b\(\ge\)1 chứng minh\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{1}{1+ab}\)
