Bài này bị ngược dấu hả ???
Đây nhé , ta sẽ chứng minh \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) thật vậy
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta được
\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b^2}.\frac{1}{a}}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{b}\)
Cộng 2 bđt lại ta được \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
Dấu ''=" xảy ra khi a = b
Bài toán quay trở lại với việc c/m \(\frac{16}{a+b}\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\)với a,b > 0
Ta có bđt sau \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(Quen thuộc)
Áp dụng ta được \(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}=\frac{2^2}{a}+\frac{2^2}{b}\ge\frac{\left(2+2\right)^2}{a+b}=\frac{16}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\ge\frac{16}{a+b}???\) Trái với điều cần c/m
=> Đề sai
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3}{a^2b^2}+\frac{16}{a+b}\ge\frac{5.\left(a+b\right)}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2b^2}+\frac{16}{a+b}\ge\frac{5.\left(a+b\right)}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{ab}+\frac{16ab}{a+b}\ge5.\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge5\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}-1\ge5\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}-2\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge8\) (1)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge2.\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}.\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}}=2.\sqrt{16}=2.4=8\)(2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}=\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4=\left(4ab\right)^2\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)
