Đặt \(S=\frac{ab}{p-c}+\frac{bc}{p-a}+\frac{ca}{p-b}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(S=\frac{2ab}{a+b-c}+\frac{2bc}{b+c-a}+\frac{2ca}{c+a-b}\ge2\left(a+b+c\right)\)
Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)thì \(x+y+z=a+b+c;a=\frac{y+z}{2};b=\frac{z+x}{x};c=\frac{x+y}{2}\)
Ta cần chứng minh \(S=\text{∑}_{cyc}\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{2z}\ge2\left(x+y+z\right)\)
Ta có:
\(S=\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{2z}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{2y}+\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{2x}\)
\(=\frac{xy+yz+zx+z^2}{2z}+\frac{xy+zx+yz+y^2}{2y}+\frac{x^2+xy+zx+yz}{2x}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
