Lời giải 1:
Ta sẽ sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bài toán. Bất đẳng thức được chuyển về dạng tam thức bậc hai như sau:
f(a)=a2+2a(bc−b−c)+(b−c)2+1≥0
* Nếu bc≥b+c thì ta có ngay điều phải chứng minh.
* Xét trường hợp ngược lại bc≤b+c, và điều này tương đương với (b−1)(c−1)≤1. Khi đó ta tính được biệt thức Δ′ của f(a) là:
Δ′=(bc−b−c)2−(b−c)2−1=bc(b−2)(c−2)−1
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Có đúng một trong hai số b,c lớn hơn 2, số còn lại không lớn hơn 2. Trong trường hợp này ta có (b−2)(c−2)≤0 từ đó suy ra Δ′≤0.
Trường hợp 2: Cả hai số b,c đều không lớn hơn 2. Khi đó theo bất đẳng thức AM-GM, ta có :
Δ′=bc(2−b)(2−c)−1≤[b+c+(2−b)+(2−c)4]4−1=0.
Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều có Δ′≤0. Tức f(a)≥0 và đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Lời giải 2: Theo nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng trong ba số a,b,c sẽ có hai số hoặc cùng ≥1 hoặc cùng ≤1. Giả sử hai số đó là a,b khi đó:
(a−1)(b−1)≥0.
Từ đây, bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
a2+b2+c2+2abc+1−2(ab+bc+ca)=(a−b)2+(c−1)2+2c(a−1)(b−1)≥0
Ta thu được ngay bất đẳng thức (1), phép chứng minh hoàn tất.
Lời giải 3: Ta sẽ sử dụng phương pháp dồn biến để chứng minh bài toán. Giả sử c là số bé nhất và đặt:
f(a,b,c)=a2+b2+c2+2abc+1−2(ab+bc+ca)
Ta có:
f(a,b,c)−f(ab−−√,ab−−√,c)=(a√−b√)2(a+b+2ab−−√−2c)≥0
Do đó f(a,b,c)≥f(ab−−√,ab−−√,c), vậy ta chỉ cần chứng minh f(ab−−√,ab−−√,c)≥0.
Thật vậy, nếu đặt t=ab−−√ thì ta có:
f(t,t,c)=2t2+c2+2t2c−2(t2+2tc)+1=(c−1)2+2c(t−1)2≥0
Bài toán được chứng minh xong.
Lời giải 4: Sử dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM, ta có:
2abc+1=abc+abc+1≥3a2b2c2−−−−−√3≥9abca+b+c
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
a2+b2+c2+9abca+b+c≥2(ab+bc+ca)
Thực hiện phép khi triển trực tiếp, ta có bất đẳng thức tương đương với:
a3+b3+c3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
Đúng vì đây chính là bất đẳng thức Schur dạng bậc ba nên ta có điều phải chứng minh.
Bất đẳng thức (1) được Darij Grinberg đề xuất trên diễn đàn toán học Mathlinks.ro vào năm 2004. Mặc dù chỉ là một kết quả đơn giản nhưng bất đẳng thức này lại có nhiều ứng dụng vào việc chứng minh các bất đẳng thức ba biến. Sau đây, chúng ta sẽ đi vào xét các bài toán cụ thể để hiểu rõ vì sao chúng tôi lại nói như vậy.
Mình sẽ giải dễ hiểu hơn
Dễ chứng minh bđt sau : a3 + b3 \(\ge\) ab(a+b)
\(\Leftrightarrow\) a3 + b3 +abc \(\ge\) ab(a+b) +abc
\(\Leftrightarrow\) a3 + b3 +abc \(\ge\) ab(a+b+c)
