a)
Cách 1: Do \(a,b,c\inℕ^∗\)nên \(a,b,c\ge1\). Do đó:
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)
Cách 2 (không thông dụng lắm, mình tự nghĩ ra)
Dự đoán: \(a=b=c\)
Do đó: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{2a}{a}+\frac{2a}{a}+\frac{2a}{a}=\frac{a\left(2+2+2\right)}{a}=6\) (do a = b = c nên ta thế b, c = a) (đpcm)
b) Từ kết quả a) ta dễ thấy GTNN của S là 6
tham khảo https://olm.vn/hoi-dap/question/1193140.html
Chúc bạn học tốt ~
Cảm ơn bạn Phùng Minh Quân đã giúp mình nhận ra lỗi sai trong bài làm! Mình xin phép sửa lại bài làm ban đầu của mình nhé!
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\)
Ta có BĐT \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) . Thật vậy ta có:
Không mất tính tổng quát giả sử x > 0, y > 0 và \(x\ge y\). Ta có thể viết x = y + m (\(m\ge0\)) . Ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{y+m}{y}+\frac{y}{y+m}=1+\frac{m}{y}+\frac{y}{y+m}\ge1+\frac{m}{y+m}+\frac{y}{y+m}=1+1=2\)
Áp dụng vào bài,ta có: \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge2+2+2=6\)
Do đó \(S\ge6^{\left(đpcm\right)}\)
b)Do \(S\ge6\Rightarrow S_{min}=6\)
