Cho a, b, c, d là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng : \(A=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}\)không phải là số tự nhiên

Do a;b;c và d là các số tự nhiên >0 => a + b + c a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1) b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2) c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3) d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4) Từ (1);(2);(3) và (4) => a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d) => a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d) => a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1 => B > 1 (*) Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) = a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad) = a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad = bd + cd Do a;b;c và d là số tự nhiên >0=> bd + cd > 0 => (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0 => (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d) => (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5) Chứng minh tương tự ta được: (b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6) (a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7) (b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8) Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được: (a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) => (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > B => 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > B => 2 > B (*)(*) Từ (*) và (*)(*) => 1 B không phải là số tự nhiênCâu trả lời: Do a;b;c và d là các số tự nhiên >0 => a + b + c a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1) b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2) c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3) d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4) Từ (1);(2);(3) và (4) => a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d) => a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d) => a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1 => B > 1 (*) Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) = a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad) = a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad = bd + cd Do a;b;c và d là số tự nhiên >0=> bd + cd > 0 => (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0 => (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d) => (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5) Chứng minh tương tự ta được: (b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6) (a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7) (b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8) Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được: (a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) => (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > B => 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > B => 2 > B (*)(*) Từ (*) và (*)(*) => 1 B không phải là số tự nhiên

A = a/a+b+c + b/a+b+d + c/b+c+d + d/a+c+dA > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d/a+b+c+dA > a+b+c+d/a+b+c+dA > 1 (1)Áp dụng a/b a/b 1 A không phải số nguyên ( đpcm)Câu trả lời: A = a/a+b+c + b/a+b+d + c/b+c+d + d/a+c+dA > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d/a+b+c+dA > a+b+c+d/a+b+c+dA > 1 (1)Áp dụng a/b a/b 1 A không phải số nguyên ( đpcm)