Giả sử rằng trong 44 số đã cho, không có hai số nào bằng nhau . Vai trò các số này bình đẳng nên ta giả sử \(a_1< a_2< ...< a_{44}\). Vì a1 , a2 ,..., a44 là các số nguyên dương nên ta có thể gọi \(a_1\ge2\), \(a_2\ge3\).... , \(a_{44}\ge45\)(Dễ thấy \(a_1=1\)thì không tồn tại các giá trị \(a_j\) \(\left(j=2,3,...,44\right)\)thỏa mãn đề bài)
Khi đó : \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}\le\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{45^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{44.45}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{44}-\frac{1}{45}=1-\frac{1}{45}< 1\)
Như vậy đẳng thức không xảy ra (vô lí) => điều giả sử sai.
Vậy trong 44 số đã cho tồn tại 2 số bằng nhau. (đpcm)
Tham khảo cách làm và đề sau:
Cho 2015 số nguyên dương a1;a2;...;a2016 thỏa mãn
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+....+\frac{1}{a_{2016}}=300\)
CMR:tồn tại ít nhất 2 số đã cho bằng nhau.
Giải
Giả sử trong 2016 sô đã cho ko có 2 số nào bằng nhau,ko mất tính tổng quát giả sử a1<a2<....<a2016
Vì a1,a2,....,a2016 đều là số nguyên dương nên ta suy ra \(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{2016}\ge2016\)
Suy ra \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2016}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}\)
\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+...+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+....+\frac{1}{2016}\right)\)
\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2^2}\cdot2^2+...+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 30\)
Mâu thuẫn vs gt ->Giả sử sai
=>Trong 2016 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau
Bạn Vongola Famiglia đã đưa gợi ý bằng 1 bài gần giống. Cho phép mình hỏi ( Đọc rồi xem vấn đề của mình )
Giả sử trong 44 số này không có 2 số nào bằng nhau. Coi \(a_1< a_2< ...< a_{43}< a_{44}\)
\(\Rightarrow a_1^2< a_2^2< ...< a_{43}^2< a_{44}^2\)
Mà \(a_1^2;a_2^2;...;a_{44}^2\in N\)* nên \(a_1^2\ge1;a_2^2\ge2^2;...;a_{44}^2\ge44^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{43}^2}+\frac{1}{a_{44}^2}\le1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{44^2}\)
Đến đây không tìm được. Bạn giúp mình với .
Dung nên cho \(a_1\ge2\) thay vì \(a_1\ge1\) bởi vì \(a_1\) không thể bằng 1. Thật vậy nếu \(a_1=1\) thì sẽ không có các số nguyên dương \(a_2,a_3,.....\) để : \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{a^2_2}+......+\frac{1}{a^2_{44}}=1\).
Như vậy bài toán sẽ được giải quyết ! Dung tìm hiểu và hoàn thiện bài làm của mình nhé !
dòng thứ 3 dưới lên mình thiếu nhé
11<300
Giả sử trong 44 số a1;a2;a3;...;a44 không có số nào giống nhau (*)
Không làm mất tính tổng quát của bài toán, coi: \(a_1< a_2< a_3< ...< a_{44}\)
Vì \(a_1;a_2;a_3;...;a_{44}\) là các số tự nhiên nên \(a_1\ge2;a_2\ge3;a_3\ge4;...;a_{44}\ge45\) (Dễ thấy \(a\ne1\), nếu a=1 thì \(1+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{44}}=1\), ta không thể tìm được các số tự nhiên \(a_2;a_3;...;a_{44}\) thỏa mãn)
=>\(a_1^2\ge2^2;a_2^2\ge3^2;a_3^2\ge4^2;...;a_{44}^2\ge45^2\)
=>\(\frac{1}{a_1^2}\le\frac{1}{2^2};\frac{1}{a_2^2}\le\frac{1}{3^2};\frac{1}{a_3^2}\le\frac{1}{4^2};...;\frac{1}{a_{44}^2}\le\frac{1}{45^2}\)
=>\(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}\le\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{45^2}\)
Có \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{45^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{44.45}\)
=>\(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{44.45}\)
<=>\(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{44}-\frac{1}{45}\)
<=>\(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}< 1-\frac{1}{45}\)
=>\(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}< 1\)trái với đề bài: \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a_3^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}=1\)
=> Điều ta đã giả sử ở (*) là sai. Vậy trong 44 số tự nhiên a1;a2;a3;...;a44 luôn có ít nhất 2 số bằng nhau (đpcm)
BÀI NÀY TRONG SÁCH NÂNG CAO VA PHÁT TRIỂN TOÁN ....CỦA TÁC GIẢ VŨ HỮU BÌNH DĨ NHIÊN ĐÃ ĐƯỢC GIẢI
