Question

Cho 4 số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện :\(ac\ge2\left(b+d\right)\)

Cmr: có ít nhất 1 trong hai bất đẳng thức sau là sai :\(a^2< 4b;c^2< 4d\)

Answer 1

Giả sử không có BĐT nào sai, ta có: 

\(4\left(b+d\right)>a^2+c^2\ge2ac\)

Mà \(ac\ge2\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow4\left(b+d\right)>4\left(b+d\right)\) Vô lí

=> có ít nhất 1 bđt sai

Answer 2

Ta có :\(ac\ge2\left(b+d\right)\)\(\Leftrightarrow2ac\ge4\left(b+d\right)\)(1)

Giả sử hai bất đẳng thức \(a^2< 4b;c^2< 4d\)đều đúng , cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta đc

\(a^2+c^2< 4b+4d\Leftrightarrow a^2+c^2< 4\left(b+d\right)\)

Thay (1) vào bất đẳng thức trên ta đc:\(a^2+c^2< 2ac\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ac+c^2< 0\) 

                                                                                              \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-c\right)^2< 0\)=> vô lí 

Vậy có ít nhất một trong 2 bất đẳng thức trên là sai.