Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thuy Nguyen

Cho 3 số x,y,z biết 0≤x,y,z≤1

CMR: x2+y2+z2≤1+x2y+y2z+z2x

Akai Haruma
5 tháng 7 2021 lúc 9:21

Lời giải:

Vì $0\leq x,y,z\leq 1$ nên:
$x(x-1)(y-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow x^2y\geq x^2+xy-x$

Tương tự và cộng theo vế:

$x^2y+y^2z^2+z^2x+1\geq x^2+y^2+z^2+(xy+yz+xz)-(x+y+z)+1(*)$

Lại có:

$(x-1)(y-1)(z-1)\leq 0$

$\Leftrightarrow xyz-(xy+yz+xz)+(x+y+z)-1\leq 0$

$\Leftrightarrow xy+yz+xz-(x+y+z)\geq xyz-1\geq -1$ do $xyz\geq 0(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x+1\geq x^2+y^2+z^2$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(0,1,1); (0,0,1)$ và hoán vị.

 


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị My
Xem chi tiết
Nguyễn Thị My
Xem chi tiết
Nguyễn Thị My
Xem chi tiết
Lê Trần Nam Khánh
Xem chi tiết
Nguyễn Hà
Xem chi tiết
Trần Anh tuấn
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Họ Và Tên
Xem chi tiết
Vũ Hoài Thu
Xem chi tiết