Điểm rơi \(\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị.Ta UCT:)
Ta bất đẳng thức phụ:
\(\sqrt{7x+9}\ge x+3\) với \(0\le x\le1\)
\(\Leftrightarrow7x+9\ge x^2+6x+9\)
\(\Leftrightarrow7\ge x+6\)
\(\Leftrightarrow x\le1\left(true!!\right)\)
Khi đó ta có:
\(\sqrt{7a+9}\le a+3;\sqrt{7b+9}\le b+3;\sqrt{7c+9}\le c+3\)
\(\Rightarrow\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\le a+b+c+9=10\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=1;b=c=0\) và các hoán vị.
Hoặc có thể biến đổi theo cách này:
Do \(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow0\le a\le1\Rightarrow a^2\le a\)
Ta có:\(\sqrt{7a+9}=\sqrt{a+6a+9}\le\sqrt{a^2+6a+9}=\sqrt{\left(a+3\right)^2}=a+3\)
Tương tự:
\(\sqrt{7b+9}\le b+3;\sqrt{7c+9}\le c+3\)
\(\Rightarrow\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\le a+b+c+9=10\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=1;b=c=0\) và các hoán vị
PS:Hình như cách này hay hơn thì phải:v
Giời ạ:( Không hiểu sao mà dạo này hay nhầm.Thanks tth nhiều nha <3
Cách 1:
Dễ thấy \(0\le a\le1\Rightarrow a^2\le a\)
Khi đó ta có:
\(\sqrt{7a+9}=\sqrt{a+6a+9}\ge\sqrt{a^2+6a+9}=a+3\)
Tương tự:
\(\sqrt{7b+9}\ge b+3;\sqrt{7c+9}\ge c+3\)
\(\Rightarrow\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\ge a+b+c+9=10\)
Cách 2:
\(a\le1\Rightarrow a+6\le7\Rightarrow a^2+6a\le7a\Rightarrow a^2+6a+9\le7a+9\Rightarrow\left(a+3\right)^2\le7a+9\)
\(\Rightarrow\sqrt{7a+9}\ge\sqrt{\left(a+3\right)^2}=a+3\)
Tương tự:
\(\sqrt{7b+9}\ge b+3;\sqrt{7c+9}\ge c+3\)
\(\Rightarrow\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\ge a+b+c+9=10\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=0;c=1\) và hoán vị.
