Dựa vào quy luật của các số trong hình A và B , hãy điền số thích hợp vào chỗ chấm trong hình C
BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Rồi tự giải nốt đi:) Ko thì để t lục lại bài hồi sáng t giải ngoài giấy:v (tại vì hồi sáng giải ngon lành bằng bunyakovski mà giờ làm ko ra:((
Có cách này không biết đúng không :)
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2+a+b+c-1}\le\frac{a}{a+b+c+1}\)
\(\frac{1}{b^2+c^2+a+b+c-1}\le\frac{b}{a+b+c+1}\)
\(\frac{1}{a^2+c^2+a+b+c-1}\le\frac{c}{a+b+c+1}\)
Cộng theo vế 3 BĐT :
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{a^2+c^2+2}\le\frac{3}{4}\left(dpcm\right)\)
Nguyễn Văn Tuấn Anh how to: \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+a+b+c-1}\le\frac{a}{a+b+c+1}\):)) Có cái gì đó ko ổn ở đây:))
Thâm thế cu:(
Phân tích và giải 111 bài toán bất đẳng thức khó và hay.pdf - Google Drive
Bài 12 nha.2 cách lận luôn mà nhác chép lại lắm:(
zZz Cool Kid zZz Ây ja, khúc cuối chỗ áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz t nhìn lộn hèn gì ko ra:((
Ngoài ra, trong sách "Yếu tổ ít nhất - Võ Quốc Bá Cẩn" or "Một kĩ thuật nhỏ để sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của Võ Quốc Bá Cẩn" có đề cập đến một lời giải rất hay như sau!
Không mất tính tổng quát giả sử b = mid {a,b,c} (b là số nằm giữa a và c) (mình giả sử thế này để khỏi mất công viết nhiều như trong sách) khi đó \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
Ta viết BĐT lại thành: \(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Bây giờ hãy để ý: \(a^2+b^2=\frac{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}{2}\)
Ta có thể viết BĐT lại thành: \(\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2+2}+\left[\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+2}+\frac{\left(b-c\right)^2}{b^2+c^2+2}+\frac{\left(a-c\right)^2}{a^2+c^2+2}\right]\)(hãy để ý cái phân thức cuối cùng nhé:))
Bây giờ áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(VT\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2+3\right)}+\frac{4\left(a-c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2+3\right)}\)
Cần chứng minh: \(\frac{4\left(a+b+c\right)^2+4\left(a-c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2+3\right)}\ge3\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)^2+2\left(a-c\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2+3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\left(a-c\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) (Đúng do giả sử)
Hoàn tất chứng minh!
Một cách chứng minh khác:
Đặt VT = f(a;b;c) và \(t=\frac{a+b}{2}\)
Giả sử \(c=max\left\{a,b,c\right\}\) khi đó \(3=a+b+c\le3c\Rightarrow c\ge1\Rightarrow a+b=3-c\le2\)
Trước hết ta chứng minh:
\(\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{4}{a^2+b^2+2c^2+4-\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2}\) (*)
hay
\(\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2}{\left(a^2+c^2+2\right)\left(b^2+c^2+2\right)\left(a^2+b^2+2c^2+4\right)}\le\frac{2\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+b^2+2c^2+4\right)\left(a^2+b^2+2c^2+4-\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a^2+c^2+2\right)\left(b^2+c^2+2\right)}\le\frac{2}{\left(a^2+b^2+2c^2+4-\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(2c^2-2ab-a^2-b^2-2ab+4\right)\left(a^2+b^2+2c^2+4\right)\ge0\)
\(VT=\frac{1}{2}\left(2c^2-2ab-a^2-b^2-2ab+4\right)\left(a^2+b^2+2c^2+4\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2c^2-a^2-b^2+4-\left(a+b\right)^2\right)\left(a^2+b^2+2c^2+4\right)\ge0\)
Vậy BĐT (*) đúng. Tiếp đó để hoàn tất bước dồn biến, ta phải chứng minh:
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2}+\frac{4}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2c^2+4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(2c^2-a^2-b^2+4-4ab\right)\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+c^2+2\right)\left(b^2+c^2+2\right)\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2c^2+2\right]}+\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+b^2+2\right)\left(a^2+2ab+b^2+4\right)}\ge0\)
(hiển nhiên đúng vì \(2c^2-a^2-b^2+4-4ab\ge\left(2c^2-a^2-b^2\right)+\left[4-\left(a+b\right)\right]^2\ge0\))
Phép dồn biến hoàn tất, việc còn lại của ta là chứng minh:
\(F\left(t;t;3-2t\right)\le\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{-3\left(t-1\right)^2\left(5t^2-2t+1\right)}{4\left(t^2+1\right)\left(5t^2-12t^2+11\right)}\le0\) (hiển nhiên đúng)
P/s: Lần đầu sử dụng phương pháp "Dồn biến Thừa - Trừ" của thầy Cẩn nên không chắc lắm, với lại chưa kiểm tra mấy khâu quy đồng:)))
Dòng 5 từ dưới đếm lên đánh nhầm nha, sr:
\(2c^2-a^2-b^2+4-4ab\ge\left(2c^2-a^2-b^2\right)+\left[4-\left(a+b\right)^2\right]\ge0\)
Còn lại chưa check thử.
