Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Meches ali

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

1/a^4 + 1/b^4 + 1/c^4

 

 

Akai Haruma
1 tháng 1 2024 lúc 23:34

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})(1+1+1)\geq (\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})^2(1)$

$(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})(1+1+1)\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2(2)$

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c)\geq (1+1+1)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=9$(3)$

Từ $(1); (2); (3)$ suy ra:
$\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}\geq \frac{9^4}{27}=243$
Vậy GTNN của biểu thức là 243 khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 1 2024 lúc 9:27

Đặt \(P=\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}=\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}\right)\left(a+b+c\right)^4\) (do \(a+b+c=1\))

\(P=\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}\right)\left(a+b+c\right)^4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^4.b^4.c^4}}.\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^4=3^5=243\)

\(P_{min}=243\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Nữ Hoàng Bóng Đêm
Xem chi tiết
hotboy2002
Xem chi tiết
hotboy2002
Xem chi tiết
thục khuê nguyễn
Xem chi tiết
Phạm Vân Anh
Xem chi tiết
hotboy2002
Xem chi tiết
Trần Cao Cường
Xem chi tiết
hotboy2002
Xem chi tiết
hotboy2002
Xem chi tiết