Question

Cho 3 số dương x, y, z. Chứng minh rằng:

\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge xy+yz+zx\)

Answer 1

Áp dụng BĐT cô si ta có:

\(\frac{x^3}{y}+xy\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y}.xy}=2x^2.\)

tương tự ta có:

\(\frac{y^3}{z}+yz\ge2y^2.\)\(\frac{z^3}{x}+zx\ge2z^2.\)

cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta có:

\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}+xy+yz+xz\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right).\)

Mặt khác ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z\)

Answer 2

có thể sử dụng bbđt bunhiacopxki dàng phân thức