Câu hỏi của Miko Angela

Question

cho 3 số dương a,b,c thay đổi thỏa mãn a2+b2+c2=3   .tìm gtnn biểu thức B=2(a+b+c)+1/a+1/b+1/c

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Từ điều kiện đề bài dễ dàng suy ra $a,b,c<\sqrt{3}<2$

Sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta sẽ CM: $2a+\frac{1}{a}\geq \frac{5}{2}+\frac{a^2}{2}$

BĐT này luôn đúng vì $\Leftrightarrow (2-a)(a-1)^2\geq 0$

Thiết lập tương tự với $b,c$, suy ra $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{15}{2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=9$ (đpcm)

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$Câu trả lời: Lời giải:

Từ điều kiện đề bài dễ dàng suy ra $a,b,c<\sqrt{3}<2$

Sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta sẽ CM: $2a+\frac{1}{a}\geq \frac{5}{2}+\frac{a^2}{2}$

BĐT này luôn đúng vì $\Leftrightarrow (2-a)(a-1)^2\geq 0$

Thiết lập tương tự với $b,c$, suy ra $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{15}{2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=9$ (đpcm)

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$