Question

Cho 3 số a, b, c, dương. M = \(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\) . Chứng tỏ rằng M không là số nguyên

Answer 1

Lời giải:

Với $a,b,c>0$ ta có:

$M> \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}{a+b+c}=1(*)$

Mặt khác:
Xét hiệu: $\frac{a}{a+b}-\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{-bc}{(a+b)(a+b+c)}<0$ với mọi $a,b,c>0$

$\Rightarrow \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}$

Tương tự ta cũng có: $\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}; \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}$

Cộng lại ta được: $M< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< M< 2$ nên $M$ không là số nguyên.