Lời giải:
Do $a, b, c$ không có vai trò như nhau nên không thể giả sử \(a>b> c\) hoặc bất cứ TH nào khác mà chỉ có thể xét các TH.
Từ \(2a^a+b^b=3c^c\Leftrightarrow \frac{2a^a}{c^c}+\frac{b^b}{c^c}=3\) (*)
+) Nếu \(a=b=c\) thì hiển nhiên (*) đúng
\(2015^{a-b}+2016^{b-c}+2017^{c-a}=2015^0+2016^0+2017^0=3\)
+) Nếu tồn tại hai số bằng nhau thì hiển nhiên số còn lại cũng bằng 2 số đó. Giống như TH trên ta thu được giá trị biểu thức bằng 3
+) Nếu $a,b,c$ đôi một khác nhau
\(c=\min (a,b,c)\Rightarrow \frac{2a^a}{c^c}+\frac{b^b}{c^c}>2+1=3\) (trái với (*))
\(c=\max (a,b,c)\Rightarrow \frac{2a^a}{c^c}+\frac{b^b}{c^c}< 2+1=3\) (trái với (*))
Do đó $c$ nằm giữa $a$ và $b$
Giả sử \(a> c> b\)
\(\Rightarrow a\geq c+1\)
\(\Rightarrow 3=\frac{2a^a}{c^c}+\frac{b^b}{c^c}>\frac{2(c+1)^{c+1}}{c^c}\)
Ta có: \(2(c+1)^{c+1}>2(c+1).c^c\geq 2(1+1)c^c> 4c^c\)
\(\Rightarrow 3> \frac{2(c+1)^{c+1}}{c^c}> 4\) (mâu thuẫn)
Giả sử \(b> c> a\Rightarrow b\geq c+1\Rightarrow 3=\frac{2a^a}{c^c}+\frac{b^b}{c^c}> \frac{(c+1)^{c+1}}{c^c}\)
\(c=1\Rightarrow 3> \frac{(1+1)^{1+1}}{1^1}=4\) (vô lý)
\(c\geq 2\Rightarrow (c+1)^{c+1}=(c+1)(c+1)^c\geq 3(c+1)^c> 3c^c\)
\(\Rightarrow 3> \frac{(c+1)^{c+1}}{c^c}> 3\) (mâu thuẫn)
-------------------
Vậy \(a=b=c\) và giá trị biểu thức bằng 3
Thánh lm cx chưa nổi !!
Với \(a=b=c\) phương trình luôn đúng
Với \(a\ne b\ne c\) không mất tính tổng quát giả sử \(a>b>c\)( bạn cũng có thể giả sử khác,nhưng mọi cách giả sử đều cho vô nghiệm)
Như vậy ta có:
\(2a^a+b^b=3c^c\)
\(VT>2a^a+a^a=3a^a\) ( vì a;b;c đều là số nguyên dương,cả số mũ và cơ số đều nhỏ hơn chắc chắn nhỏ hơn)
\(VP< 3a^a\)(tương tự)
Vì \(VT>3a^a=VP< 3a^a\) nên ko có nghiệm thỏa mãn
Như vậy \(a=b=c\)
Khi đó: \(L=2015^{a-b}+2016^{b-c}+2017^{c-a}=2015^0+2016^0+2017^0=3\)
T cần gấu là girl nhé :)) Mak t cx ko trách đâu sai đừng trách nha
Đù :v pác thông minh vcl :v
Source : https://mathulike.com/discuss
Bài này là bài thầy tôi nghĩ ra rồi được Toán Tuổi Thơ đăng,cái thằng FC KEITA 8C chỉ nhái để gửi cho Toán tuổi thơ thôi
Do a, b, c không có vai trò như nhau nên không thể giả sử a>b>c hoặc bất cứ trường hợp nào khác mà chỉ có thể xét các trường hợp.
Từ 2a\(^a\)+b\(^b\)=3c\(^c\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{2a^a}{c^c}\)+\(\frac{b^b}{c^c}\)=3(*)
+)Nếu a=b=c thì hiển nhiên (*) đúng
\(^{2015^{a-b}}\)+2016\(^{^{b-c}}\)+\(^{2017^{c-a}}\)=\(^{2015^0}\)+\(^{2016^0}\)+\(^{2017^0}\)=3
+)Nếu tồn tại hai số bằng nhau thì hiển nhiên số còn lai cũng bằng hai số đó.Giống như trương hợp trên ta thu được giá trị biểu thức bằng 3
+)Nếu a,b,c đôi một khác nhau
c=min(a,b,c)\(\Rightarrow\)\(^{\frac{2a^a}{c^c}}\)+\(\frac{b^b}{c^c}\)>2+1=3(trái với(*))
c=max(a,b,c)\(\Rightarrow\)\(^{\frac{2a^a}{c^c}}\)+\(\frac{b^b}{c^c}\)<2+1=3(trái với(*))
Do đó c nằm giữa a và b
Giả sử a>b>c
\(\Rightarrow\)a\(\ge\)c+1
\(\Rightarrow\)3=\(\frac{2a^a}{c^c}\)+\(\frac{b^b}{c^c}\)>\(\frac{2\left(c+1\right)^{c+1}}{c^c}\)
Ta có:2.(c+1)\(^{c+1}\)>2(c+1).c\(^c\)\(\ge\)2(1+1)c\(^c\)>4c\(^c\)
\(\Rightarrow\)3>\(\frac{2\left(c+1\right)^{c+1}}{c^c}\)>4(mâu thuẫn)
Giả sử:b>c>a\(\Rightarrow\)b\(\ge\)\(\Rightarrow\)3=\(\frac{2a^a}{c^c}\)+\(\frac{b^b}{c^c}\)>\(\frac{\left(c+1\right)^{c+1}}{c^c}\)
c=1\(\Rightarrow\)3>\(\frac{\left(1+1\right)^{1+1}}{1^1}\)=4(vô lí)
c\(\ge\)2\(\Rightarrow\)(c+1)\(^{c+1}\)=(c+1).(c+1)\(^c\)\(\ge\)3(c+1)\(^c\)>3c\(^c\)
\(\Rightarrow\)3>\(\frac{\left(c+1\right)^{c+1}}{c^c}>3\)(mâu thuẫn)
Vậy a=b=c và giá trị biểu thức bằng 3.
☺
Chúc bạn làm bài vui vẻ
☻
