Em có cách này không biết có đúng không ạ,em mới lớp 7 thôi.
\(S=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=2x^2-2xy+2y^2\)
Đặt \(S=2x^2-2xy+2y^2=a\left(x+y\right)^2+b\left(x-y\right)^2\) (ta đi tìm a, b)
Phân tích ra ta được: \(a\left(x+y\right)^2+b\left(x-y\right)^2\)
\(=ax^2+2xy.a+ay^2+bx^2-2xy.b+by^2\)
\(=\left(a+b\right)x^2+2xy\left(a-b\right)+\left(a+b\right)y^2\)
Đồng nhất hệ số ta được: \(\hept{\begin{cases}a+b=2\\a-b=-1\end{cases}}\).Giải ra ta tìm được: a = 1/2 và b = 3/2
Do đó: \(S=2x^2-2xy+2y^2=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{2}\left(x-y\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2=\frac{1}{2}.4=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\x+y=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy \(S_{min}=2\Leftrightarrow x=y=1\)
\(S=x^3+y^3\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=2\left(x^2-xy+y^2\right)\ge2\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\right]=2\left(2-1\right)=2\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
Vậy \(S_{min}=2\)khi \(x=y=1\)
:))
