Question

cho 2 số a,b thỏa mãn điều kiện a+b=1 chứng minh 

a) \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Answer 1

Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-\left(a+b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 2

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(a^2+b^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{1}=\frac{b}{1}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 3

Dùng bđt Cauchy-Schwarz có đc không ta?

Answer 4

BĐT Cauchy - Schwarz khác j BĐT Bunhiacopxki.

Bn xem bài của kudo r nói lại hả?? =))

Answer 5

Nói vậy thôi chứ chắc đc,vì đây chính là hệ quả của Bđt Bunhiacopxki.

\(VT=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{1}=\frac{b}{1}\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 6

tth: Hình như phải c/m BĐT Cauchy-schwarz nếu muốn áp dụng

Answer 7

kudo: c/m tương tự như Bunhiacopxki thôi mak?

Answer 8

tui c/m dạng đang áp dụng thôi nhé kudo:

Đầu tiên,c/m bđt: \(\left(a^2+b^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(a+b\right)^2\)(*)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\) (chuyển vế)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)

Vậy (*) đúng suy ra \(\left(a^2+b^2\right)\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}\) hay \(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}\)

Answer 9

tth: chứng minh dạng tổng quát. chứ c/m thế thì nói làm gì.

C/m: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) với a,b,x,y dương

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}-\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2y\left(x+y\right)+b^2x\left(x+y\right)-\left(a+b\right)^2xy}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy-a^2xy-2abxy-b^2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2-2abxy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)

Dấu " = " xảy ra <=> ...........

Áp dụng: \(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\frac{a_3^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\ge\)\(\frac{\left(a_1+a_2\right)^2}{b_1+b_2}+\frac{a_3^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\ge\)\(\frac{\left(a_1+a_2+a_3\right)^2}{b_1+b_2+b_3}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\ge\)\(\frac{\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+b_3+...+b_n}\)

Dấu " = " xảy ra <=>....