\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) (1)
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(1\le a\le b\le2\). Ta có \(\frac{a}{b}\le1\); \(2\ge b\) , \(a\ge1\) \(\Rightarrow2a\ge b\Rightarrow\frac{a}{b}\ge\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{a}{b}\le1< 2\)
Ta có : \(\left(2-\frac{a}{b}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{a}{b}\right)\le0\Rightarrow1-\frac{2a}{b}-\frac{a}{2b}+\frac{a^2}{b^2}\le0\)
\(\Rightarrow1+\frac{a^2}{b^2}\le\frac{5}{2}.\frac{a}{b}\)\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le\frac{5}{2}\) (2) (chia hai vế cho \(\frac{a}{b}\) )
Từ (1) và (2) ta suy ra \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}\)
a + b a 1 + b 1 = 2 + b a + a b (1) Không mất tính tổng quát, ta giả sử 1 ≤ a ≤ b ≤ 2. Ta có b a ≤ 1; 2 ≥ b , a ≥ 1 ⇒2a ≥ b⇒ b a ≥ 2 1 ⇒ 2 1 ≤ b a ≤ 1 < 2 Ta có : 2 − b a 2 1 − b a ≤ 0⇒1 − b 2a − 2b a + b 2 a 2 ≤ 0 ⇒1 + b 2 a 2 ≤ 2 5 . b a ⇒ b a + a b ≤ 2 5 (2) (chia hai vế cho b a ) Từ (1) và (2) ta suy ra a + b a 1 + b 1 ≤ 2 + 2 5 = 2 9 (
mk nghĩ vậy
Cách khác :
Vì \(a,b\in\left[1;2\right]\)nên \(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0;\left(b-1\right)\left(b-2\right)\le0\)
Suy ra \(a^2+2\le3a;b^2+2\le3b\)hay \(a+\frac{2}{a}\le3;b+\frac{2}{b}\le3\)
\(\Rightarrow6\ge\left(a+b\right)+\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)\)(1)
Mặt khác \(\left(a+b\right)+\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)\ge2\sqrt{\left(a+b\right)\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)}\)(Bất đẳng thức AM-GM) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)}\le3\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le\frac{9}{2}\)
