a: AB là tiếp tuyến của (O) tại B
=>AB\(\perp\) BO tại B
=>ΔABO vuông tại B
Xét ΔBOA vuông tại B có \(cosBOA=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{R}{3R}=\dfrac{1}{3}\)
nên \(\widehat{BOA}\simeq70^032'\)
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(4)
Từ (3),(4) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
=>BC\(\perp\)CD tại C
mà BC\(\perp\)OA
nên OA//CD
Xét ΔKBC có
KH là đường cao
KH là đường trung tuyến
Do đó: ΔKBC cân tại K
=>KB=KC
Xét tứ giác BKDF có
O là trung điểm chung của BD và KF
=>BKDF là hình bình hành
=>DF=BK
mà BK=KC
nên KC=DF
DC//OA
=>DC//KF
Xét tứ giác KFCD có
KF//CD
KC=FD
DO đó: KFCD là hình thang cân
c: Xét (O) có
\(\widehat{ABF}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BF
\(\widehat{BKF}\) là góc nội tiếp chắn cung BF
Do đó: \(\widehat{ABF}=\widehat{BKF}\)
Xét ΔABF và ΔAKB có
\(\widehat{ABF}=\widehat{AKB}\)
\(\widehat{BAF}\) chung
Do đó: ΔABF~ΔAKB
=>\(\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AF}{AB}\)
=>\(AF\cdot AK=AB^2\left(1\right)\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AH\cdot AO=AF\cdot AK\)
