Câu 3. (3,0 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một dây cung AC bất kỳ. Gọi K là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt tia OK tại D. Gọi CH là đường cao của tam giác ABC. a) Chứng minh BD = DC và DC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Chứng minh 4 điểm C, H, O, K cùng thuộc 1 đường tròn, xác định tâm và bán kính đường tròn đó.
a: Ta có: ΔOBC cân tại O
mà OK là đường trung tuyến
nên OK\(\perp\)BC và OK là phân giác của góc BOC
OK là phân giác của góc BOC
=>\(\widehat{BOK}=\widehat{COK}\)
=>\(\widehat{BOD}=\widehat{COD}\)
Xét ΔOBD và ΔOCD có
OB=OC
\(\widehat{BOD}=\widehat{COD}\)
OD chung
Do đó: ΔOBD=ΔOCD
=>DB=DC
ΔOBD=ΔOCD
=>\(\widehat{OBD}=\widehat{OCD}\)
mà \(\widehat{OBD}=90^0\)
nên \(\widehat{OCD}=90^0\)
=>DC\(\perp\)CO tại C
=>DC là tiếp tuyến của (O)
b: Xét tứ giác CHOK có
\(\widehat{CHO}+\widehat{CKO}=90^0+90^0=180^0\)
nên CHOK là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CO
=>C,H,O,K cùng thuộc một đường tròn
tâm là trung điểm của CO
Bán kính là \(\dfrac{CO}{2}\)
