Question

Biết số phức z thỏa mãn z - 3 - 4 i = 5  và biểu thức T = z + 2 2 - z - i 2  đạt giá trị lớn nhất. Tính  z .

A.  z = 33

B.  z = 50

C.  z = 10

D.  z = 5 2

Answer 1

Đáp án D

Đặt z = x + y i x , y ∈ ℝ ⇒  Tập hợp điểm M là đường tròn (C) có tâm I(4;3) bán kính R = 5  

Ta có P = z + 2 2 - z - i 2 = x + 2 + y i 2 - x + y - 1 i 2 = x + 2 2 + y 2 - z 2 - y - 1 2  

= x 2 + y 2 + 4 x + 1 - x 2 - y 2 + 2 y - 1 = 4 x + 2 y + 3 → ∆ : 4 x + 2 y + 3 - P = 0  

Ta cần tìm P sao cho đường thẳng ∆  và đường tròn (C) có điểm chung ⇔ d I , ∆ ≤ R  

⇔ 4 . 3 + 2 . 4 + 3 - P 4 2 + 2 2 ≤ 5 ⇔ 23 - P ≤ 10 ⇔ - 10 ≤ 23 - P ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33

Do đó, maxP = 33. Dấu “=” xảy ra ⇔ 4 x + 2 y - 30 = 0 x - 3 2 + y - 4 2 = 5 ⇔ x = 5 y = - 5 . Vậy  z = 5 2