Question

Biết rằng các số thực a, b thay đổi sao cho hàm số f x = − x 3 + x + a 3 + x + b 3  đồng biến trên khoảng − ∞ ; + ∞ .  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = a 2 + b 2 − 4 a − 4 b + 2.

A. -4

B. -2

C. 0

D. 2

Answer 1

Đáp án B

Ta có

f ' x = 3 x + a 2 + x + b 2 − x 2 = 3 x 2 + 2 a + b x + a 2 + b 2

Để hàm số luôn đồng biến trên − ∞ ; + ∞

thì Δ ' = a + b 2 − a 2 + b 2 ≤ 0 ⇔ a b ≤ 0

Ta có  

P = a 2 + b 2 − 4 a − 4 b + 2 = a + b − 2 2 − 2 a b − 2 ≥ − 2.

Dâu bằng xảy ra khi a + b = 2 a b = 0 ⇔ a = 2 b = 0  hoặc ngược lại.