Lời giải:
$a^5+b^5+c^5=(a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c)+(a+b+c)$
Giờ ta sẽ cmr với mọi số nguyên $x$ nào đó, $x^5-x\vdots 5$
Thật vậy:
$x^5-x=x(x^4-1)=x(x^2-1)(x^2+1)$
Nếu $x$ chia hết cho $5$ thì hiển nhiên $x^5-x\vdots 5$
Nếu $x$ không chia hết cho $5$: Do tính chất 1 số chính phương khi chia cho $5$ dư $0,1,4$, mà $x\not\vdots 5$ nên $x^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$.
+ Khi $x^2$ chia $5$ dư $1$ thì $x^2-1\vdots 5\Rightarrow x^5-x=x(x^2-1)(x^2+1)\vdots 5$
+ Khi $x^2$ chia $5$ dư $4$ thì $x^2+1\vdots 5\Rightarrow x^5-x=x(x^2-1)(x^2+1)\vdots 5$
Vậy tóm lại $x^5-x\vdots 5, \forall x\in\mathbb{Z}$
Áp dụng vào bài toán:
$a^5-a\vdots 5; b^5-b\vdots 5; c^5-c\vdots 5; a+b+c\vdots 5$
$\Rightarrow a^5+b^5+c^5\vdots 5$
