a.
Gọi \(d=ƯCLN\left(n+1;n+3\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\n+3⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(n+3\right)-\left(n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)
Để hai số nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow d=1\)
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮̸2\\n+3⋮̸2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n\) là số chẵn (do 1 và 3 đều là số lẻ)
Vậy với n là số tự nhiên chẵn thì 2 số đã cho nguyên tố cùng nhau
b.
Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+7;n+2\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+7⋮d\\n+2⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+7⋮d\\2.\left(n+2\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+7⋮d\\2n+4⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2n+7\right)-\left(2n+4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow3⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1;3\right\}\)
Để hai số `2n+7` và `n+2` nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+7⋮̸3\\n+2⋮̸3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow n+2\) chia 3 dư 1 hoặc 2
\(\Rightarrow n\) chia hết cho 3 hoặc n chia 3 dư 2
Vậy với n là số tự nhiên chia hết cho 3 hoặc n chia 3 dư 2 thì `2n+7` và `n+2` nguyên tố cùng nhau
