Question

Bài 6. Cho Δ ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi G là trọng tâm của Δ ABC. Trên tia đối của tia HG lấy điểm E sao cho HG = EH.
a) Chứng minh: BG = CG.
b) Chứng minh: Δ ABE = Δ ACE.
c) Chứng minh: AG = GE.
d) Δ ABC thỏa mãn điều kiện gì để Δ GBE là Δ đều?

Answer 1

a: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AH là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: A,G,H thẳng hàng và \(AG=\frac23AH\)

Xét ΔGBC có

GH là đường cao

GH là đường trung tuyến

Do đó: ΔGBC cân tại G

=>GB=GC

b: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\hat{BAH}=\hat{CAH}\)

Xét ΔABE và ΔACE có

AB=AC

\(\hat{BAE}=\hat{CAE}\)

AE chung

Do đó: ΔABE=ΔACE

c: Ta có: AG+GH=AH

=>\(GH=AH-AG=AH-\frac23AH=\frac13AH\)

=>AG=2GH

mà GE=2GH(H là trung điểm của GE)

nên AG=GE

d: Xét ΔHBE vuông tại H và ΔHCG vuông tại H có

HB=HC

HE=HG

Do đó: ΔHBE=ΔHCG

=>BE=CG

mà CG=BG

nên BE=BG

=>ΔBEG cân tại B

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

Do đó: BG cắt CA tại trung điểm K của AC

=>BG=2/3BK

Để ΔBEG đều thì BG=GE

mà GE=AG

nên BG=GA

mà BG=2/3BK; GA=2/3AH

nên BK=AH

Xét ΔKBA và ΔHAB có

KB=HA

\(\hat{KBA}=\hat{HAB}\) (ΔGAB cân tại G)

AB chung

Do đó: ΔKBA=ΔHAB

=>KA=HB

mà AC=2AK và BC=2BH

nên CA=CB

mà CA=AB

nên AC=CB=AB