Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AH. Có AC = 4cm, BC = 7cm a) Tính AH
b) Gọi I là trung điểm của AC. Lấy điểm D đối xứng với điểm H qua điểm I. Chứng minh tứ giác ADCH là hình chữ nhật.
c) Chứng minh tứ giác ADHB là hình bình hành.
d) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh AEHI là hình thoi.
a: ΔABC cân tại A
mà AH là đường trung tuyến
nên AH⊥BC tại H và AH là phân giác của góc BAC
H là trung điểm của BC
=>\(HB=HC=\frac{BC}{2}=3,5\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔAHC vuông tại H
=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)
=>\(AH^2=4^2-3,5^2=0,5\cdot7,5=3,75=\frac{15}{4}\)
=>\(AH=\frac{\sqrt{15}}{2}\) (cm)
b: Xét tứ giác ADCH có
I là trung điểm chung của AC và DH
=>ADCH là hình bình hành
Hình bình hành ADCH có \(\hat{ADC}=90^0\)
nên ADCH là hình chữ nhật
c: Ta có: ADCH là hình chữ nhật
=>AD//CH và AD=CH
AD//CH
=>AD//BH
AD=CH
CH=BH
Do đó: AD=BH
Xét tứ giác ADHB có
AD//HB
AD=HB
Do đó: ADHB là hình bình hành
d: Xét ΔABC có
H,E lần lượt là trung điểm của BC,BA
=>HE là đường trung bình của ΔABC
=>HE//AC và \(HE=\frac{AC}{2}\)
HE//AC
=>HE//AI
\(HE=\frac{AC}{2}\)
\(AI=\frac{AC}{2}\)
Do đó: HE=AI
Xét tứ giác AEHI có
HE//AI
HE=AI
Do đó: AEHI là hìnhbình hành
Hình bình hành AEHI có AH là phân giác của góc EAI
nên AEHI là hình thoi
