a: Ta có: DC//AB
=>\(\hat{CDA}+\hat{DAB}=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{DAB}+\hat{DAB}=180^0\)
=>\(3\cdot\hat{DAB}=180^0\)
=>\(\hat{DAB}=60^0\)
=>\(\hat{ADC}=2\cdot60^0=120^0\)
Ta có: ABCD là hình thang cân
=>\(\hat{CBA}=\hat{DAB}=60^0\) ; \(\hat{ADC}=\hat{DCB}=120^0\)
ΔCBA vuông tại C
=>\(\hat{CAB}+\hat{CBA}=90^0\)
=>\(\hat{CAB}=90^0-60^0=30^0\)
Ta có: tia AC nằm giữa hai tia AB và AD
=>\(\hat{DAC}+\hat{BAC}=\hat{DAB}\)
=>\(\hat{DAC}=60^0-30^0=30^0\)
Ta có: tia AC nằm giữa hai tia AD và AB
mà \(\hat{DAC}=\hat{BAC}\left(=30^0\right)\)
nên AC là phân giác của góc DAB
b: Ta có: \(\hat{DCA}=\hat{CAB}\) (hai góc so le trong, AB//CD)
\(\hat{DAC}=\hat{CAB}\)
Do đó: \(\hat{DCA}=\hat{DAC}\)
=>DA=DC=a
Ta có: ABCD là hình thang cân
=>DA=CB
=>CB=a
Kẻ DH⊥AB tại H và CK⊥AB tại K
Xét ΔDHA vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có
DA=CB
\(\hat{DAH}=\hat{CBK}\)
Do đó: ΔDHA=ΔCKB
=>DH=CK và AH=BK
DH⊥AB
CK⊥AB
Do đó: DH//CK
Xét tứ giác DCKH có
DC//HK
DH//CK
Do đó: DCKH là hình bình hành
=>DC=HK=a
Gọi M là trung điểm của BC
Trên tia đối của tia MK, lấy I sao cho MK=MI
Xét tứ giác BKCI có
M là trung điểm chung của BC và KI
=>BKCI là hình bình hành
Hình bình hành BKCI có \(\hat{BKC}=90^0\)
nên BKCI là hình chữ nhật
=>BC=KI
mà \(KM=MI=\frac{KI}{2};MB=MC=\frac{BC}{2}\)
nên KM=MI=MB=MC=BC/2=KI/2
Xét ΔBMK có MK=MB và \(\hat{MBK}=60^0\)
nên ΔMBK đều
=>BK=MB=BC/2
=>BK=a/2
TA có: AB=AH+HK+KB
=a/2+a+a/2
=2a
Chu vi hình thang ABCD là:
AB+BC+CD+DA
=2a+a+a+a
=5a
ΔCKB vuông tại K
=>\(CK^2+KB^2=CB^2\)
=>\(CK^2=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{3a^2}{4}\)
=>\(CK=\frac{a\sqrt3}{2}\)
Diện tích hình thang BCDA là:
\(S_{DCBA}=\frac12\cdot CK\cdot\left(DC+BA\right)=\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\left(a+2a\right)=\frac{a\sqrt3}{4}\cdot3a=3\sqrt3\cdot\frac{a^2}{4}\)
