Lời giải:
Cần bổ sung điều kiện $a,b,c$ là các số thực dương.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow 3\geq 3\left[\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\right]\)
\(\Rightarrow \frac{1+\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}\leq 1\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3\)
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
