Question

Bài 4. ( 3,0 điểm) Cho Tam giac ABC vuông tại 𝐴. Trên tia đối của tia 𝐶𝐴 lấy điểm 𝑀 sao cho 𝐶𝑀 = 𝐶𝐴. Qua 𝐶 vẽ đường thẳng vuông góc với 𝐴𝐶 cắt cạnh 𝐵𝑀 tại 𝐾. a) Chứng minh Tam giác AKC = Tam giác MCK. b) Chứng minh tam giác ABK cân tại 𝐾. c) Gọi 𝐺 là giao điểm 𝐴𝐾 và 𝐵𝐶,𝐼 là trung điểm của 𝐴𝐵. Chứng minh ba điểm 𝑀, 𝐺,𝐼 thẳng hàng. 

Answer 1

Xét △AKC và △MKC có:

+ AC =MC (gt)

+ACK=MCK=90

+KC chung

=> △ACK=△MCK(cgc)

Ta có KMA+ABC=90( 2 góc cùng phụ)

         KAM + KAC=90( 2 góc kề nhau)

Mà KMA=KAM( hai cạnh t/ứng của △ACK=△MCK)

=> ABC=KAC

=> △AKB cân tại K

Ta có △AKB cân tại K

=> BK = AK ( 2 cạnh bên của △cân)
Mà AK = MK ( △ACK=△MCK)

=> BK = MK 

=> K là trung điểm của BM

Xét △ AMB vuông tại A có:
+ AK là dg trung tuyến ứng với cạnh BM
+BC  là dg trung tuyến ứng với cạnh AM

AM cắt BC tại G

=> G là trọng tâm △AMB(1)

Ta có I là trung điểm của AB

=> MI là trung tuyến △ AMB (2)

Từ (1) và (2) => M, I, G thẳng hàng