Question

Bài 3: Từ điểm S nằm ngoài đường tròn $(O;R)$, vẽ hai tiếp tuyến SB, SC  (B, C là tiếp điểm).
Vẽ đường kính BD của đường tròn (O).Gọi $K$ là hình chiếu của C trên $BD$.
 CKSD cắt CKAD tại EI.

a) Chứng minh: Tứ giác SOBC nội tiếp và $SO\perp BC$ tại HH.
b) Chứng minh: E $là\; trung\; điểm\; CK$.

Answer 1

a: Xét tứ giác SOBC có \(\widehat{SBO}+\widehat{SCO}=90^0+90^0=180^0\)

nên SOBC là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

SB,SC là các tiếp tuyến

Do đó: SB=SC

=>S nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra SO là đường trung trực của BC

=>SO\(\perp\)BC tại H

b: Gọi A là giao điểm của DC và BS

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)DA tại C

=>ΔBCA vuông tại C

Ta có: \(\widehat{SCA}+\widehat{SCB}=\widehat{BCA}=90^0\)

\(\widehat{SAC}+\widehat{SBC}=90^0\)(ΔBCA vuông tại C)

mà \(\widehat{SBC}=\widehat{SCB}\)(ΔSBC cân tại S)

nên \(\widehat{SCA}=\widehat{SAC}\)

=>SC=SA

mà SC=SB

nên SA=SB(3)

Ta có: CK\(\perp\)DB

AB\(\perp\)DB

Do đó: CK//BA

Xét ΔDSA có EC//SA

nên \(\dfrac{EC}{SA}=\dfrac{DE}{DS}\left(4\right)\)

Xét ΔDBS có KE//BS

nên \(\dfrac{KE}{BS}=\dfrac{DE}{DS}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra KE=EC

=>E là trung điểm của KC