Bài 3: Cho △ ABC vuông tại A có BD là tia phân giác góc ABC ( D ϵ AC ). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
a) Chứng minh: △ ABD = △ EBD, góc E = 90 độ.
b) BD cắt AE tại I. Chứng minh: △ ABI = △ EBI, từ đó chứng minh: BD vuông góc AE.
c) Chứng minh: AD < DC.
d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = EC. Gọi F là trung điểm của MC. Chứng minh 3 điểm B, D, F thẳng hàng.
a: Xét ΔBAD và ΔBED có
BA=BE
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)
BD chung
Do đó: ΔBAD=ΔBED
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)
=>\(\widehat{BED}=90^0\)
b:Xét ΔBAI và ΔBEI có
BA=BE
\(\widehat{ABI}=\widehat{EBI}\)
BI chung
Do đó: ΔBAI=ΔBEI
=>\(\widehat{BIA}=\widehat{BIE}\)
mà \(\widehat{BIA}+\widehat{BIE}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{BIA}=\widehat{BIE}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
=>BD\(\perp\)AE tại I
c:
ΔBAD=ΔBED
=>DA=DE
Ta có: AD=DE
mà DE<DC(ΔDEC vuông tại E)
nên AD<DC
d: Xét ΔDAM vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có
DA=DE
AM=EC
Do đó: ΔDAM=ΔDEC
=>DM=DC
=>D nằm trên đường trung trực của MC(1)
Ta có: FM=FC
=>F nằm trên đường trung trực của MC(2)
Ta có: BA+AF=BF
BE+EC=BC
mà BA=BE và AF=EC
nên BF=BC
=>B nằm trên đường trung trực của FC(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra B,F,D thẳng hàng
