Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có M là trung điểm của BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC
a) Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh DE = 1 / 2 BC.
c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC. Chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành.
d) Để tam giác ABC vuông ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?
a: Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADME là hình chữ nhật
b: MD⊥AB
AC⊥BA
Do đó: MD//AC
Ta có: ME⊥AC
AB⊥CA
Do đó: ME//AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MD//AC
Do đó: D là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
ME//AB
Do đó: E là trung điểm của AC
Xét ΔABC có
D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>DE là đường trung bình của ΔABC
=>DE//BC và \(DE=\frac12BC\)
c: Ta có: P là trung điểm của MB
=>\(MP=PB=\frac{MB}{2}=\frac14BC\)
Ta có: Q là trung điểm của MC
=>\(CQ=QM=\frac{CM}{2}=\frac14BC\)
\(QP=QM+MP=\frac14BC+\frac14BC=\frac12BC\)
=>QP=DE
Xét tứ giác PDEQ có
DE//PQ
DE=PQ
Do đó: PDEQ là hình bình hành
d: Hình bình hành PDEQ trở thành hình chữ nhật khi DP⊥PM
=>DP⊥BC tại P
Xét ΔDMB có
DP là đường trung tuyến
DP là đường cao
Do đó: ΔDMB cân tại D
=>ΔDMB vuông cân tại D
=>\(\hat{DBM}=45^0\)
=>\(\hat{ABC}=45^0\)
