bài 1:tính GTNN của các biểu thức sau:
a,A=x^2-4x+6
b,B=y^2-y+1
c,C=x^2-4x+y^2-y+5
bài 2: tính GTLN của các biểu thức sau
a,A=-x^2+4x+2
b,B=x-x^2+2
bài 3:chứng tỏ
a,x^2-6x+10>0 với mọi x
b,4y-y^2-5 với mọi y
bài 4:cho biết x+y=15 và xy=-100. Tính giá trị của biểu thức B=x^2+y^2
bài 5:chứng minh đẳng thức (x+y)^2-(x-y)^2=4xy
Bài 1 :
a, \(A=x^2-4x+6=x^2-4x+4+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = 2
Vậy GTNN A là 2 khi x = 2
b, \(B=y^2-y+1=y^2-2.\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Dấu ''='' xảy ra khi y = 1/2
Vậy GTNN B là 3/4 khi y = 1/2
c, \(C=x^2-4x+y^2-y+5=x^2-4x+4+y^2-y+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x-2\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(x=2;y=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN C là 3/4 khi x = 2 ; y = 1/2
Bài 3 :
a, \(x^2-6x+10=x^2-2.3.x+9+1=\left(x-3\right)^2+1\ge1>0\)( đpcm )
b, \(-y^2+4y-5=-\left(y^2-4y+5\right)=-\left(y^2-4y+4+1\right)=-\left(y-2\right)^2-1< 0\)( đpcm )
Bài 4 :
\(B=\left(x^2+y^2\right)=\left(x+y\right)^2-2xy\)
Thay (*) ta được : \(225-2\left(-100\right)=225+200=425\)
Bài 5 :
\(\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2=\left(x+y-x+y\right)\left(x+y+x-y\right)\)
\(=2y.2x=4xy=VP\)( đpcm )
Trả lời:
Bài 1:
a, \(A=x^2-4x+6=x^2-2.x.2+4+2=\left(x-2\right)^2+2\)\(\ge2\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi x - 2 = 0 <=> x = 2
Vậy GTNN của A = 2 khi x = 2
b, \(B=y^2-y+1=\left(y^2-2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)\(\ge\frac{3}{4}\forall y\)
Dấu "=" xảy ra khi \(y-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của B = 3/4 khi x = 1/2
c, \(C=x^2-4x+y^2-y+5=\left(x^2-4x\right)+\left(y^2-y\right)+4+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x-2\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)\(\ge\frac{3}{4}\forall x;y\)
Dấu "=" xảy ra khi x - 2 = 0 <=> x = 2 và y - 1/2 = 0 <=> y = 1/2
Vậy GTNN của C = 3/4 khi x = 2; y = 1/2
Bài 2:
a, \(A=-x^2+4x+2=-\left(x^2-4x-2\right)=-\left(x^2-2.x.2+4-6\right)=-\left[\left(x-2\right)^2-6\right]\)
\(=-\left(x-2\right)^2+6\le6\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi x - 2 = 0 <=> x = 2
Vậy GTLN của A = 6 khi x = 2
b, \(B=x-x^2+2=-\left(x^2-x-2\right)=-\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right)=-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\right]\)
\(=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\le-\frac{9}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi x - 1/2 = 0 <=> x = 1/2
Vậy GTLN của B = - 9/4 khi x = 1/2
Trả lời:
Bài 3:
a, \(x^2-6x+10=x^2-2.x.3+9+1=\left(x-3\right)^2+1\ge1>0\forall x\)
Dấu "=" xảy ra khi x = 3
Vậy x2 - 6x + 10 > 0
b, \(4y-y^2-5=-\left(y^2-4y+5\right)=-\left(y^2-2.y.2+4+1\right)=-\left[\left(y-2\right)^2+1\right]\)
\(-\left(y-2\right)^2-1\le-1< 0\forall y\)
Dấu "=" xảy ra khi y = 2
Bài 4:
Ta có: \(B=x^2+y^2=x^2+2xy+y^2-2xy=\left(x+y\right)^2-2xy\)
Thay x + y = 15 và xy = - 100 vào B, ta được:
\(B=15^2-2.\left(-100\right)=225+200=425\)
Bài 5:
Ta có: ( x + y )2 - ( x - y )2 = x2 + 2xy + y2 - ( x2 - 2xy + y2 ) = x2 + 2xy + y2 - x2 + 2xy - y2 = 4xy ( đpcm )
