Question

Bài 18: Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại M, tia phân giác của góc C cắt AB tại N.

a) Chứng minh tam giác AMN cân

b) Chứng minh MN // BC

c) Gọi I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh tam giác BIC cân, tam giác MIN cân.

Answer 1

a: ta có: \(\widehat{ABM}=\widehat{CBM}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)

\(\widehat{ACN}=\widehat{NCB}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{ABM}=\widehat{CBM}=\widehat{ACN}=\widehat{NCB}\)

Xét ΔABM và ΔACN có

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

AB=AC

\(\widehat{BAM}\) chung

Do đó: ΔABM=ΔACN

=>AM=AN

=>ΔAMN cân tại A

b: Xét ΔABC có \(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AM}{AC}\)

nên NM//BC

c: Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

nên ΔIBC cân tại I

=>IB=IC

Ta có: IB+IM=MB

IC+IN=CN

mà MB=CN và IB=IC

nên IM=IN

=>ΔIMN cân tại I