Question

Bài 17: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là một số nguyên tố:

P= (n² - 3)² + 16

Answer 1

Nếu n=0 thì \(P=\left(0^2-3\right)^2+16=9+16=25\) là hợp số(L)

Nếu n khác 0:ta có:\(P=\left(n^2-3\right)^2+16=n^4-6n^2+9+16=n^4-6n^2+25=\left(n^4+10n^2+25\right)-16n^2\)

\(=\left(n^2+5\right)^2-\left(4n\right)^2=\left(n^2-4n+5\right)\left(n^2+4n+5\right)\)

Vì P là số nguyên tố mà \(n^2-4n+5< n^2+4n+5\) với mọi số tự nhiên n khác 0

\(\Rightarrow n^2-4n+5=1\Rightarrow n^2-4n+4=0\Rightarrow\left(n-2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow n-2=0\Rightarrow n=2\)

Thử lại \(P=\left(2^2-3\right)^2+16=17\) là số nguyên tố(TM)

Vậy n=2