Question

 

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. Chứng minh rằng

a) IM. IN = ID²
b)\(\dfrac{\text{KM}}{\text{KN }}\)= \(\dfrac{\text{DM}}{\text{DN}}\)

c) AB. AE + AD. AF = AC²

(VẼ CẢ HÌNH)

 

Answer 1

a: Xét ΔINC và ΔIDA có

\(\hat{INC}=\hat{IDA}\) (hai góc so le trong, AD//NC)

\(\hat{NIC}=\hat{DIA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔINC~ΔIDA

=>\(\frac{IN}{ID}=\frac{IC}{IA}\) (1)

Xét ΔICD và ΔIAM có

\(\hat{ICD}=\hat{IAM}\) (hai góc so le trong, CD//AM)

\(\hat{CID}=\hat{AIM}\) (hai góc đối đỉnh)

DO đó: ΔICD~ΔIAM

=>\(\frac{IC}{IA}=\frac{ID}{IM}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IN}{ID}=\frac{ID}{IM}\)

=>\(IN\cdot IM=ID^2\)

c: Xét ΔAEC vuông tại E và ΔAGB vuông tại G có

\(\hat{EAC}\) chung

Do đó: ΔAEC~ΔAGB

=>\(\frac{AE}{AG}=\frac{AC}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AG\cdot AC\)

Kẻ DH⊥AC tại H

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{HAD}\) chung

Do đó: ΔAHD~ΔAFC

=>\(\frac{AH}{AF}=\frac{AD}{AC}\)
=>\(AH\cdot AC=AD\cdot AF\)

Xét ΔDHA vuông tại H và ΔBGC vuông tại G có

DA=BC

\(\hat{DAH}=\hat{BCG}\) (hai góc so le trong, AD//BC)

Do đó: ΔDHA=ΔBGC

=>AH=CG

\(AB\cdot AE+AD\cdot AF\)

\(=AG\cdot AC+AH\cdot AC=AG\cdot AC+CG\cdot CA=AC\left(AG+CG\right)=AC^2\)