Bài 1 :
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
\(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ac}{a+c-b}\ge a+b+c\)
Bài 2 :
Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Rút gọn : \(Q=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\)
Bài 3 :
Chứng minh rằng với mọi a, b, c khác 0 ta luôn có :
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
"Chấm" nhẹ hóng cao nhân ạ :)
P/s: mong các bác giải theo cách lớp 8 ạ :) Tặng 5SP / 1 câu nhé ;)
Câu 3: Tham khảo đây nhá: Câu hỏi của Trương Thanh Nhân, t làm r,giờ lười đánh lại.
tth, bài 3 làm thế chắc chết cauchy là ra thôi
SKT: Cauchy-Schwarz dạng engel? hay là cô si thông thường?
Nếu dùng AM-GM (Cô si) cho 3 số thì cả hai vế đều >= 3 dẫn đến khó c/m.
Nếu dùng Cauchy-schwarz dạng Engel thì ko bt làm thế nào
Nên em đành làm thế thôi :v
Áp dụng BĐT x2 + y2 \(\ge\)2xy ( xảy ra khi x = y )
Ta có : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=2.\frac{a}{c}\)
Tương tự : \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2.\frac{b}{a}\); \(\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge2.\frac{c}{b}\)
Cộng từng vế 3 BĐT trên : \(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ab=-bc-ac\\bc=-ac-ab\\ac=-ab-bc\end{cases}}\)
\(a^2+2bc=a^2+bc-ac-ab=a.\left(a-c\right)+b.\left(c-a\right)=\left(a-c\right).\left(a-b\right)\)(b tự phân tích nha)
tương tự: \(b^2+2ac=\left(b-a\right).\left(b-c\right)=-\left(a-b\right).\left(b-c\right)\)
và \(c^2+2ab=\left(c-a\right).\left(c-b\right)=-\left(a-c\right).\left(c-b\right)\)
thay vào biểu thức \(Q=\frac{c-b}{\left(a-c\right).\left(a-b\right).\left(c-b\right)}+\frac{a-c}{\left(a-c\right).\left(a-b\right).\left(c-b\right)}+\frac{-\left(a-b\right)}{\left(a-c\right).\left(c-b\right).\left(a-b\right)}=0\)
p/s: làm đc mỗi câu nài thôi
2. \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)\(\Rightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=0\)\(\Rightarrow ab+bc+ac=0\) ( vì abc khác 0 )
Ta có : a2 + 2bc = a2 + bc + ( -ab - ac ) = a ( a - b ) - c ( a - b ) = ( a - c ) ( a - b )
Tương tự : b2 + 2ac = ( b - a ) ( b - c ) ; c2 + 2ab = ( c - a ) ( c - b )
\(Q=\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(Q=\frac{b-c+c-a+a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=0\)
1. do vai trò a,b,c như nhau nên ta có thể sắp thứ tự các biến.
không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c>0\)
Ta có : \(\left(\frac{ab}{a+b-c}-a\right)+\left(\frac{bc}{b+c-a}-b\right)+\left(\frac{ac}{a+c-b}-c\right)\ge0\)
\(\frac{a\left(c-a\right)}{a+b-c}+\frac{b\left(a-b\right)}{b+c-a}+\frac{c\left(b-c\right)}{a+c-b}\ge0\)
dễ thấy cả 3 hạng tử đều dương nên BĐT cuối cùng đúng, suy ra BĐT lúc đầu đúng
1, Vì a,b,c là 3 cạnh của t/g nên a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0
Đặt \(x=a+b-c,y=b+c-a,z=a+c-b\)
=>\(a=\frac{x+z}{2};b=\frac{x+y}{2};c=\frac{y+z}{2}\)
Khi đó \(VT=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{4x}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{4y}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{4z}\)
\(=\frac{x^2+xy+xz+yz}{4x}+\frac{xy+xz+y^2+yz}{4y}+\frac{xy+yz+zx+z^2}{4z}\)
\(=\frac{x^2+xy+xz}{4x}+\frac{y^2+yz+xy}{4y}+\frac{z^2+zx+yz}{4z}+\frac{yz}{4x}+\frac{xz}{4y}+\frac{xy}{4z}\)
\(=\frac{x+y+z}{4}+\frac{x+y+z}{4}+\frac{x+y+z}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\right)\)
\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{y^2z^2}{xyz}+\frac{x^2z^2}{xyz}+\frac{x^2y^2}{xyz}\right)\)
\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{xyz}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{xyz\left(x+y+z\right)}{xyz}\) (áp dụng \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\))
\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}+\frac{x+y+z}{4}=x+y+z\)
Mà \(x+y+z=a+b-c+b+c-a+a+c-b=a+b+c\) => dpcm
Cảm ơn các bạn nha :)) Tặng mỗi bạn 3SP nhé <3
Nếu như tớ CM đc
a+b-c, b+c-a và a+c-b đều dương thì tớ đã lm đc rồi
a=4;b=5;c=13
=>a+b-c=-4
