Question

chỉ làm câu b, ko cần vẽ hình

b) Trên tia \(NA\) lấy điểm \(P\) sao cho \(NP = NM\), kẻ tia phân giác của góc \(\angle ANM\) cắt \(MP\) tại điểm \(Q\), biết \(\tan \angle PMA = 0{,}75\). Chứng minh \(\triangle PAQ \sim \triangle PMN\) và tính \(\frac{S_{PAQ}}{S_{AQMN}}\)

Answer 1

a: Xét ΔCAB vuông tại C có CB là đường cao

nên \(BM\cdot BA=BC^2\)

Xét ΔCAN vuông tại C có CD là đường cao

nên \(DA\cdot DN=DC^2\)

ABCD là hình chữ nhật

=>\(AC^2=CB^2+CD^2\)

=>\(AC^2=BA\cdot BM+DA\cdot DN\)

b: Xét ΔNPM có NP=NM

nên ΔNPM cân tại N

mà NQ là đường phân giác

nên NQ⊥PM tại Q

Xét ΔPQN vuông tại Q và ΔPAM vuông tại A có

\(\hat{QPN}\) chung

Do đó: ΔPQN~ΔPAM

=>\(\frac{PQ}{PA}=\frac{PN}{PM}\)

=>\(\frac{PQ}{PN}=\frac{PA}{PM}\)

Ta có: \(1+\tan^2PMA=\frac{1}{cos^2PMA}\)

=>\(\frac{1}{cos^2PMA}=1+\left(\frac34\right)^2=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}\)

=>\(cos^2PMA=\frac{16}{25}\)

=>\(cosPMA=\frac45\)

Xét ΔPMA vuông tại A có cos PMA\(=\frac{PA}{PM}=\frac45\)

Xét ΔPQA và ΔPNM có

\(\frac{PQ}{PN}=\frac{PA}{PM}\)

góc QPA chung

Do đó: ΔPQA~ΔPNM

=>\(\frac{S_{PQA}}{S_{PNM}}=\left(\frac{PA}{PM}\right)^2=\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{25}\)

=>\(S_{PQA}=\frac{16}{25}\cdot S_{PMN}\)

Ta có: \(S_{PQA}+S_{AQMN}=S_{PNM}\)

=>\(S_{AQMN}=S_{PNM}-S_{PAQ}=S_{PNM}\left(1-\frac{16}{25}\right)=\frac{9}{25}\cdot S_{PNM}\)

=>\(\frac{S_{PAQ}}{S_{AQMN}}=\frac{16}{25}:\frac{9}{25}=\frac{16}{9}\)