Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
\(\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}=VP\)
Đặt A=...
Ta có \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}=0\)
=>\(2A=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b}{3}\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+a^2b+ab^2+a^2b+ab^2+b^3\)
<=>\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\) (luôn đúng với BĐT cô-si)
Tương tự như vậy + vào, ta có \(2A\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\Rightarrow A\ge\frac{a+b+c}{3}\left(ĐPCM\right)\)
Dấu = xảy ra <=>a=b=c>0
^_^
Thắng Nguyễn ơi, bạn có thể cm BĐT bằng cách dùng AM-GM được k
AM-GM như sau:
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{a^2b+ab^2}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge b-\frac{b+c}{3};\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge c-\frac{a+c}{3}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{a+b+c}{3}=VP\)
