a, Tìm số tự nhiên \(n\) , chữ số a sao cho : \(1+2+3+...+n=\overline{aaa}\) ( \(\overline{aaa}\) là số có 3 chữ số )
b, Tìm \(x;y;z\) biết \(\frac{x}{y}=\frac{3}{2};5z=7z\) và \(x-2y+z=32\)
c, Cho \(c\ne0\) và \(\frac{\overline{ab}}{a+b}=\frac{\overline{bc}}{b+c}\) . Chứng minh rằng : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}.\) ( \(\overline{ab}\) và \(\overline{bc}\) là số có hai chữ số )
Bài 1:
$1+2+3+...+n=\overline{aaa}$
$\Leftrightarrow \frac{n(n+1)}{2}=a.111$
$\Leftrightarrow n(n+1)=a.222\vdots 37$ nên suy ra $n\vdots 37$ hoặc $n+1\vdots 37$
Nếu $n\vdots 37$. Đặt $n=37k$ với $k\in\mathbb{N}^*$
Khi đó: $37k(37k+1)=222a\Rightarrow k(37k+1)=6a$
$6a\leq 54$ do $a\leq 9; 37k+1\geq 38$ do $k\geq 1$
$\Rightarrow k=\frac{6a}{37k+1}< 2\Rightarrow k=1$
$\Rightarrow 6a=38$ (vô lý)
Nếu $n+1\vdots 37$. Đặt $n+1=37k$ với $k\in\mathbb{N}^*$
Khi đó: $(37k-1).37k=222a\Rightarrow k(37k-1)=6a$
$6a\leq 54$ do $a\leq 9$; $37k-1\geq 36$ do $k\geq 1$
$\Rightarrow k=\frac{6a}{37k-1}< 2\Rightarrow k=1$
$\Rightarrow n=36; a=6$
Bài 2: $5z=7z$ hình như sai, bạn coi lại đề.
Bài 3:
\(\frac{\overline{ab}}{a+b}=\frac{\overline{bc}}{b+c}\Leftrightarrow \frac{10a+b}{a+b}=\frac{10b+c}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow \frac{9a+(a+b)}{a+b}=\frac{9b+(b+c)}{b+c}\Leftrightarrow \frac{9a}{a+b}+1=\frac{9b}{b+c}+1\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}\Rightarrow ab+ac=ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow ac=b^2\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) (đpcm)
Bài 2 sau khi đã sửa đề thành $5x=7z$:
Ta có:
\(\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{21}=\frac{y}{14}(1)\)
\(5x=7z\Leftrightarrow \frac{x}{7}=\frac{z}{5}\Leftrightarrow \frac{x}{21}=\frac{z}{15}(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{x}{21}=\frac{y}{14}=\frac{z}{15}$ và đặt bằng $k$
$\Rightarrow x=21k; y=14k; z=15k$
Khi đó:
$x-2y+z=32$
$\Leftrightarrow 21k-28k+15k=32\Leftrightarrow 8k=32\Rightarrow k=4$
$\Rightarrow x=21k=84; y=14k=56; z=15k=60$