a, Hãy chỉ ra một số thực \(x\) mà \(x-\frac{1}{x}\)là số nguyên\(\left(x\ne1,-1\right)\)
b, Chứng minh rằng nếu \(x-\frac{1}{x}\)là số nguyên và \(x\ne1,-1\)thì \(x\)và\(x+\frac{1}{x}\)là số vô tỉ. Khi đó \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)và \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n+1}\)là số hửu tỉ hay số vô tỉ ?
a/ \(x=\sqrt{2}-1\)
b/ Giả sử x là số vô tỷ
\(x=\frac{m}{n}\left[\left(m,n\right)=1\right]\)
\(\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{m}{n}-\frac{n}{m}=\frac{m^2-n^2}{mn}\)
Vì \(x-\frac{1}{x}\)là số nguyên \(\Rightarrow m^2-n^2⋮m\)
\(\Rightarrow n^2⋮m\)
Mà m, n nguyên tố cùng nhau nên
\(\Rightarrow n=1;-1\)
Tương tự ta cũng có: \(m=1;-1\)
\(\Rightarrow x=1;-1\) trái giả thuyết
\(\Rightarrow x\)là số vô tỷ
Ta có:
\(2x-\left(x-\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ
Ta có:
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4\) là số nguyên
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\) là số hữu tỉ và \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n+1}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)là số vô tỉ.
