Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Amee

\(9m^2\)+\(n^2\). (\(\dfrac{1}{9m^2}\)+\(\dfrac{1}{n^2}\)) ≥ 4

với m và n là hai số dương

Nguyễn Ngọc Lộc
9 tháng 5 2021 lúc 9:41

- Áp dụng BĐT cauchuy : \(\left\{{}\begin{matrix}9m^2+n^2\ge2\sqrt{9m^2n^2}=6mn\\\dfrac{1}{9m^2}+\dfrac{1}{n^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{9m^2n^2}}=\dfrac{2}{3mn}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(9m^2+n^2\right)\left(\dfrac{1}{9m^2}+\dfrac{1}{n^2}\right)\ge6mn.\dfrac{2}{3mn}=4\left(1\right)\)

- Dấu " = " xảy ra <=> \(9m^2=n^2\)\(\Leftrightarrow\left(3m-n\right)\left(3m+n\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=3m\\n=-3m\end{matrix}\right.\)

Mà m, n > 0

\(\Rightarrow n=3m\)

 

 

Nguyễn Ngọc Lộc
9 tháng 5 2021 lúc 8:46

- Không biết đề bài là gì ??

Trương Huy Hoàng
9 tháng 5 2021 lúc 12:51

Là 9m+ n2.(\(\dfrac{1}{9m^2}+\dfrac{1}{n^2}\)) hay là (9m2 + n2)(\(\dfrac{1}{9m^2}+\dfrac{1}{n^2}\)) ?

Trương Huy Hoàng
9 tháng 5 2021 lúc 13:01

A nghĩ đề là (9m2 + n2)(\(\dfrac{1}{9m^2}+\dfrac{1}{n^2}\)\(\ge\) 4

Cách khác:

Ta có BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) (a; b dương)

CM: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) 

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\) (a + b)2 \(\ge\) 4ab

\(\Leftrightarrow\) (a + b)2 - 4ab \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a - b)2 \(\ge\) 0 (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b

Áp dụng BĐT phụ trên cho 2 số \(\dfrac{1}{9m^2}\) và \(\dfrac{1}{n^2}\) dương ta được:

\(\dfrac{1}{9m^2}+\dfrac{1}{n^2}\ge\dfrac{4}{9m^2+n^2}\)

\(\Leftrightarrow\) (9m2 + n2)(\(\dfrac{1}{9m^2}+\dfrac{1}{n^2}\)\(\ge\) \(\dfrac{4\left(9m^2+n^2\right)}{9m^2+n^2}\) = 4 (đpcm)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) 9m2 = n2

\(\Leftrightarrow\) n = 3m (do m, n > 0)

\(\Leftrightarrow\) m = \(\dfrac{n}{3}\)

Vậy ...


Các câu hỏi tương tự
H Phương Nguyên
Xem chi tiết
ý phan
Xem chi tiết
Zi Heo
Xem chi tiết
dam thu a
Xem chi tiết
Vô danh
Xem chi tiết
Pro No
Xem chi tiết
NTP-Hoa(#cđln)
Xem chi tiết
Lê Phạm Khánh Linh
Xem chi tiết
Nguyễn thành Đạt
Xem chi tiết